Оптимальне фокусування пучка заряджених частинок в лінійних прискорюючих системах з трубками дрейфа в формі еліптичних циліндрів

Abstract

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 — «Математичне моделювання та обчислювальні методи» (з технічних наук). — Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, Київ, 2026. Дисертаційну роботу присвячено розробці математичних моделей, методів та алгоритмів оптимального фокусування пучка заряджених частинок у лінійних прискорювальних системах із трубками дрейфа еліптичного перерізу. У роботі досліджено процеси динаміки, транспортування та фокусування заряджених частинок в електрофізичних системах, а також розроблено підходи до математичного моделювання руху електронів у фрактальних середовищах. Основний зміст дисертаційної роботи складається з чотирьох розділів. У вступі подано загальну характеристику роботи, обґрунтовано актуальність теми та необхідність проведення досліджень, сформульовано мету роботи та задачі дослідження та практичне значення отриманих результатів. У розділі 1 «Математичне моделювання систем частинок з внутрішньою структурою зв’язків і варіаційні принципи механіки» розглядаються фрактальні моделі внутрішніх зв’язків складних систем та енергія зв'язку фрактальних кластерів зі скейлінгом. У даному розділі досліджуються математичні моделі складних систем частинок, у яких визначальну роль відіграє внутрішня структура зв’язків (контактних, пружних, хімічних або ефективних) та її ієрархічна організація. Для широкого класу реальних агрегатів, кластерів і мережевих матеріалів така структура демонструє масштабну самоподібність, що природно описується фрактальними характеристиками. З огляду на це, класичні евклідові підходи до 3 опису енергії, кінетики та термодинаміки є неповними, а адекватне моделювання вимагає поєднання мережевих (графових), скейлінгових та варіаційних методів. У розділі 2 «Математичне моделювання еволюції, варіації структури зв’язків систем частинок та їх варіаційні принципи» розглянуто моделі варіацій зв’язків у системі частинок та модифікація варіаційного принципу для систем із змінними зв’язками. Метою цього розділу є побудова математичних моделей для систем частинок зі змінною структурою зв'язків, формулювання узагальнених варіаційних принципів для таких систем і виведення рівнянь еволюції, придатних для подальшої чисельної реалізації. У другому розділі була отримана математична модель з урахуванням варіації фрактальної структури зв’язків, яку можна записати у вигляді мінімізації модифікованої функції примусу, яка враховує структуру системи. У розділі 3 «Моделювання динаміки та еволюції систем заряджених частинок у прискорювальних системах з фіксованими і віртуальними електродами» наведено аналогію електрофізичних та механічних систем на основі модифікованого варіаційного принципу. Отримано та проаналізовано математичні моделі для електрофізичних систем з внутрішньою фрактальною структурою. У цьому розділі розглянуто математичні моделі, що описують рух, колективну взаємодію та еволюцію систем заряджених частинок (електронних і іонних пучків, плазмових згустків) у прискорювальних та електрофізичних пристроях, де електродна структура може бути як геометрично заданою (фіксовані електроди), так і такою, що формується самою динамікою. У третьому розділі проаналізовано математичну модель системи з Джозефсонівським контактом між фрактальними середовищами. Вперше отримані рівняння для транспорту електронів у фрактальному ефекті Джозефсона. Проведено регулярiзацiю рiвнянь динаміки заряджених частинок у фрактальному середовищі за допомогою операторiв Джексона та розроблена математична модель узагальнення закона Ома. Вивчена математична модель, яка описує динаміку заряджених частинок у постійному магнітному полі. 4 У розділі 4 «Комп’ютерне моделювання проискорення і фокусування в прискорювальних системах з фіксованими і віртуальними електродами і трубками дрейфу» розглянуті задачі розв’язування нестійких траєкторій частинок у прискорювачі, використання методів практичної стійкості на основі другого методу Ляпунова, функції Ляпунова та нелінійних чисельних алгоритмів дозволяє стійко проводити надійний чисельний аналіз траєкторій заряджених частинок у прискорювачі. В даній роботі алгоритми чисельного розрахунку областей стійкості та структурно-параметричної оптимізації застосовуються для дослідження рівнянь руху пучків заряджених частинок з різною формою задання прискорюючих та фокусуючих полів. Одним з перших центрів прискорювальної техніки в Україні став Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» (ННЦ ХФТІ), заснований у 1928 р. Саме тут почали розробляти та створювати лінійні резонансні прискорювачі електронів з середини XX ст. і до 1991 р. А. Вальтер, Г. Латишев, О. Лейпунський, К. Сінельников — молоді вчені УФТІ, які у 1932 р. здійснили одне з перших керованих прискорювальних експериментів. У роботі враховано підходи до математичного моделювання та чисельного аналізу, розвинуті у працях Ф.Г. Гаращенка, А.Я. Бомби, М.Р. Петрика, О.Ю. Чернухи у галузі математичного моделювання складних систем. У цьому розділі подано методологію та практичні алгоритми комп’ютерного моделювання процесів прискорення, фазового захоплення та фокусування заряджених частинок у прискорювальних структурах з фіксованими електродами. У цьому розділі представлена теорія алгоритмів чисельного розрахунку областей стійкості та дослідження рівнянь руху пучків заряджених частинок з різною формою задання прискорюючих та фокусуючих полів. Досліджено математичну модель, яка відповідає реальним процесам в різних прискорюючо-фокусуючих системах.

Dissertation for the degree of Candidate of Tech3. Grad H. Principles of the Kinetic Theory of Gases // Handbuch der Physik XII / S. Flugge (ed.). — Berlin: Springer, 1958. nical Sciences in the specialty 01.05.02 — “Mathematical modeling and computational methods” (in technical sciences). — Taras Shevchenko National University of Kyiv, Department of Complex Systems Modeling, Faculty of Computer Sciences and Cybernetics, Kyiv, 2026. The topic of the dissertation work of Kruchinin D.S. is devoted to the construction of mathematical models in acceleration and focusing systems and modeling of electron motion in fractal structures. The purpose of this dissertation is modeling of particle motion in electrophysical installations. The topic of the dissertation is relevant and practically important. The dissertation has scientific novelty and practical value and is of great importance for the development of the science of modeling electron motion in electrophysical installations. The main content of the dissertation consists of four sections. The introduction provides a general description of the work, justifies the relevance of the topic and the need for research, formulates the purpose of the work and research tasks and the practical significance of the results obtained. In section 1 “Mathematical modeling of particle systems with an internal structure of bonds and variational principles of mechanics” fractal models of internal bonds of complex systems and the binding energy of fractal clusters with scaling are considered. This section considers mathematical models of complex particle systems in which the internal structure of bonds (contact, elastic, chemical or effective) and its hierarchical organization play a decisive role. For a wide class of real aggregates, clusters and network materials, such a structure demonstrates large-scale self-similarity, which is naturally described by fractal characteristics. In the first section, the following results were obtained. Mathematical models describing the evolution of mechanical and 6 electrophysical systems are defined, taking into account the analogies between mechanical and electrophysical systems. Model equations for fractal dimension are obtained. In section 2 "Mathematical modeling of evolution, variations of the structure of bonds of particle systems and their variational principles" models of variations of bonds in a particle system and modification of the variational principle for systems with variable bonds are considered. The purpose of this section is to build mathematical models for particle systems with variable bond structure, formulate generalized variational principles for such systems and derive evolution equations suitable for further numerical implementation. In the second section, a mathematical model was obtained taking into account the variation of the fractal structure of bonds, which can be written as a minimization of a modified forcing function that takes into account the structure of the system. In section 3, “Modeling the dynamics and evolution of charged particle systems in accelerator systems with fixed and virtual electrodes,” an analogy of electrophysical and mechanical systems based on the modified variational principle is presented. Mathematical models for electrophysical systems with an internal fractal structure are obtained and analyzed. This section considers mathematical models that describe the motion, collective interaction, and evolution of charged particle systems (electron and ion beams, plasma clumps) in accelerator and electrophysical devices, where the electrode structure can be either geometrically given (fixed electrodes) or formed by the dynamics itself. In the third section, a mathematical model of a system with a Josephson contact between fractal media is analyzed. Equations for electron transport in the fractal Josephson effect are obtained for the first time. The equations of dynamics of charged particles in a fractal environment are regularized using Jackson operators and a mathematical model of generalization of Ohm’s law is developed. A mathematical model describing the dynamics of charged particles in a constant magnetic field is introduced. 7 In section 4 “Computer simulation of acceleration and focusing in accelerator systems with fixed and virtual electrodes and drift tubes” the problems of solving unstable particle trajectories in the accelerator are considered, the use of practical stability methods based on the second Lyapunov method, the Lyapunov function and nonlinear numerical algorithms allows for a stable and reliable numerical analysis of charged particle trajectories in the accelerator. In this work, algorithms for numerical calculation of stability regions and structural-parametric optimization are used to study the equations of motion of charged particle beams with different forms of specifying accelerating and focusing fields. One of the first centers of accelerator technology in Ukraine was the National Scientific Center “Kharkiv Physics and Technology Institute” (NSC KPTI), founded in 1928. It was here that linear resonant electron accelerators began to be developed and created from the middle of the 20th century. and until 1991. A. Walter, G. Latyshev, O. Leipunsky, K. Sinelnikov - young scientists of UFTI, who in 1932 carried out one of the first controlled accelerator experiments. The thesis has developed approaches to mathematical modeling and numerical analysis, developed by F.G. Garashchenka, A.Ya. Bombi, M.R. Petrika, O.Yu. Chernukhy at the mathematical modeling of folding systems. This section presents the methodology and practical algorithms for computer simulation of the processes of acceleration, phase capture and focusing of charged particles in accelerator structures with fixed electrodes. This section presents the theory of algorithms for numerical calculation of stability regions and the study of equations of motion of charged particle beams with different forms of specifying accelerating and focusing fields. A mathematical model that corresponds to real processes in various accelerating-focusing systems has been investigated.