Подання розв’язків тривимірних динамічних задач теорії пружності в криволінійній ортогональній системі координат

Abstract

Для описування процесів поширення пружних хвиль застосовано модель тривимірного ізотропного тіла під дією динамічних навантажень. Використано узагальнені співвідношення Гука для подання напружень в однорідному твердому тілі. Після підстановки пружних напружень у динамічні рівняння рівноваги записано систему диференціальних рівнянь Нав’є в частинних похідних другого порядку на пружні переміщення. Розглянуто відоме подання загального розв’язку рівнянь Нав’є у векторному вигляді, яке містить чотири функції. Встановлено, що функція, яка описує хвилі розширення, однозначно визначається через обʼємне розширення. Показано, що динамічний напружено-деформований стан тіла з нульовим обʼємним розширенням можна виразити через дві незалежні функції, які задовольняють рівняння, що описує хвилі зсуву. Розглянуто декартову систему координат і доведено, що загальний розвʼязок рівнянь Нав’є можна виразити через три чотирихмірні функції переміщень, які визначаються як розвʼязки хвильових рівнянь другого порядку. Використано цей розвʼязок і знайдено аналітичний вираз загального розвʼязку рівнянь динамічної теорії пружності у криволінійній ортогональній системі координат через три незалежні функції переміщень. Як частковий випадок цього подання записано явний вираз пружних переміщень у циліндричній системі координат. Проте в цьому подані біля однієї функції переміщень стоять множники, які залежать від кутової змінної ... , що ускладнює його практичне застосування. Для побудови простішого виразу цього розвʼязку використано два загальних розвʼязки рівнянь Нав’є в декартовій системі координат. Після переведення їх у циліндричну систему координат функції переміщень розкладено в ряди Фурʼє відносно кута ... . Проведено регуляризацію загального розвʼязку таким чином, що усунуто в коефіцієнтах розкладу члени, які залежать від кута ... . Це суттєво спростило вираз розвʼязку. Записано компоненти напружено-деформованого стану в циліндричній системі координат

To describe the processes of distribution of elastic waves, a model of a three -dimensional isotropic body is used under the action of dynamic loads. A well known presentation of the general solution of equations had been considered in a vector form, which contains four functions. It is established that the function that describes the expansion waves is uniquely determined by the volume deformation. It is shown that the dynamic tense-deformed state of the body with zero volumetric extension can be expressed through two independent functions that satisfy the equation that describes the waves of shift. It is proved that the overall solution of equations can be expressed through three four dimensional displacement functions, which are defined as the solutions of wave equations of the second order. This solution was used and an analytical expression of the general solution of the equations of dynamic theory of elasticity in the curvilinear orthogonal coordinate system was found. This submission has been used and a clear expression of elastic displacements in the cylindrical coordinate system was recorded. However, there are multipliers near one displacement function, which depend on the angular variable, which complicates its practical use. The general solution is regulated in the cylindrical coordinate system in such a way that the coefficients of the expansion in the Fourier rows do not depend on the angle ... . This made it possible to significantly simplify the expression of solution. The components of a stress-deformed state in the cylindrical coordinate system are recorded