Solutions of the theory of thermoelasticity and thermal conductivity in the cylindrical coordinate system for axisymmetric temperature

Abstract

Для описування термопружного стану використано лінійну статичну модель тривимірного ізотропного тіла під дією стаціонарного температурного поля. Розглянута модель деформованого тіла базується на поданні переміщень і напружень у циліндричній системі координат в осесиметричному випадку через гармонічні функції. Використано співвідношення Дюамеля–Неймана для подання термопружних напружень в однорідному твердому тілі. Розглянуто випадок, коли стаціонарна температура задовольняє рівняння Лапласа в циліндричній системі координат в осесиметричному випадку. Після підстановки термопружних напружень у рівняння рівноваги термопружного тіла отримано систему диференціальних рівнянь Нав’є в частинних похідних другого порядку на пружні й температурні переміщення. Загальний розвʼязок неведено у вигляді суми однорідного й часткового розв’язку, який не містить пружних переміщень. Цей частковий розвʼязок системи рівнянь Нав’є названо чисто температурним розвʼязком. Переміщення, деформації й напруження, які визначаються цими температурними розв’язками, названі температурними. Використано фізичні й математичні особливості термопружного напруженого стану й показано, що для чисто температурних розвʼязків сума нормальних напружень дорівнює нулю, а обʼємне розширення дорівнює T e  = 3 . Знайдено аналітичний вираз чисто температурних переміщень і напружень у циліндричній системі координат в осесиметричному випадку. Запропоновано розв’язок крайової задачі теплопровідності, коли циліндр підігрівається на одному торці, охолоджується рідиною на іншому з відомими тепловими втратами на бічній поверхні. Розвʼязок крайової задачі теплопровідності для такого циліндра наведено у вигляді суми основної температури, яка описує баланс теплоти, і збуреної температури. Основна температура має поліноміальний вигляд і інтегрально задовольняє крайові умови. Збурена температура має експонентне спадання при віддалені від нагрітого торця й не здійснює інтегрального переносу теплоти. Використано знайдені залежності й записано температурний розв’язок системи рівнянь термопружності в циліндричній системі координат, коли температура не залежить від кутової змінної. Отримано прості формули для вираження температурних напружень. Побудовано загальний розвʼязок рівнянь теорії термопружності через три гармонічні функції, коли температурне поле не залежить від осьової координати

The paper uses the system of Navier equations in the stationary case. A cylindrical coordinate system is considered, when the temperature does not depend on the angular variable. A partial solution of the system of Navier equations, which does not contain elastic displacements, is called a purely temperature solution. It was established that for purely temperature solutions the sum of normal stresses is zero and the volume deformation is equal T e  = 3 . An analytical expression of purely temperature displacements and stresses in the cylindrical coordinate system in the axisymmetric case was found. The solution of the boundary value problem of thermal conductivity, when the cylinder is heated on one end, cooled by liquid on the other with known heat losses on the side surface, is proposed. The solution of the boundary value problem of thermal conductivity for such a cylinder is given in the form of the sum of the basic temperature, which describes the heat balance, and the perturbed temperature. The basic temperature has a polynomial form and integrally satisfies the boundary conditions. The perturbed temperature has an exponential decrease with distance from the heated end and does not carry out integral heat transfer. The found dependencies were used and a new solution to the heat conduction equation was written in a cylindrical coordinate system. Simple formulas for expressing temperature changes have been obtained. A new temperature solution to the system of thermoelasticity equations in a cylindrical coordinate system has been written, when the temperature does not depend on the angular variable