Investigation of the spatial motion of a body with distributed mass connected by an inextensible cable to a moving trolley

Abstract

Розглянуто просторовий рух механічної системи, де важка балка заданої маси і розмірів підвішена одним кінцем невагомим нерозтяжним тросом до візка, який без опору може рухатися по горизонтальних напрямних. Система має п’ять ступенів вільності. На основі апарату аналітичної механіки і рівнянь Лагранжа отримано математичну модель розглядуваної механічної системи у вигляді системи п’яти нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку. Математична модель реалізована у вигляді комп’ютерної програми, яка дозволяє визначити координати (положення) балки в будь-який момент часу, побудувати траєкторію руху центра мас, визначити кінематичні характеристики руху, розрахувати натяг троса й визначити його екстремальне значення. На підставі проведеного числового експерименту побудовано графіки й фазові траєкторії цих параметрів, у тому числі 3D траєкторія руху центра мас балки. Система може демонструвати досить складну динаміку залежно від початкових умов, про що свідчать результати чисельних розрахунків. За певних умов можлива хаотична поведінка системи. Маючи математичну модель і програму розрахунку, можна проводити подальші дослідження розглянутої системи, виявляючи положення стійкої та нестійкої рівноваги, режими автоколивань, виявляючи області різних за характером періодичних і хаотичних режимів, біфуркації та ін. Дослідження проведено за нелінійною моделлю без використання асимптотичних методів, що дозволило виключити методологічну похибку рішення. Отримані результати можуть бути використані при моделюванні керованих маятникових рухів різних механічних систем. Методика і програма рекомендуються для вирішення прикладних завдань проектування та експлуатації різних вантажопідйомних систем і технічних пристроїв, здатних демонструвати складну поведінку. У методичному плані пропонований матеріал цікавий для студентів і аспірантів у плані навчання принципам побудови та аналізу складних нелінійних просторових динамічних систем.

The article considers the spatial motion of a mechanical system where a heavy beam of a given mass and dimensions is suspended at one end by a weightless inextensible cable to a trolley, which can move along horizontal guides without resistance. The system has five degrees of freedom. Based on the apparatus of analytical mechanics and Lagrange equations, a mathematical model of the considered mechanical system in the form of a system of five nonlinear differential equations of the second order is obtained. The mathematical model is implemented in the form of a computer program that allows you to determine the coordinates (positions) of the beam at any time, build the trajectory of the center of mass, determine the kinematic characteristics of the movement, calculate the cable tension and determine its extreme value. Based on the numerical experiment, graphs and phase trajectories of these parameters are constructed, including the 3D trajectory of the center of mass of the beam. The system can show quite complex dynamics depending on the initial conditions, as evidenced by the results of numerical calculations. Under certain conditions, chaotic behavior of the system is possible. Having a mathematical model and a calculation program, it is possible to conduct further studies of the system under consideration, revealing the positions of stable and unstable equilibrium, modes of self-oscillations, revealing areas of periodic and chaotic modes, bifurcations, and so on.