Contact interaction of a predeformed plate which lies without friction on rigid base with a parabolic indenter

Abstract

Продемонстровано розроблену методику побудови розв’язків осесиметричних задач визначення напруженого стану заздалегідь деформованої пружної плити при її контактній взаємодії з жорстким штампом. Співвідношення, що описують напружено-деформований стан тіл із початковими деформаціями, наведено у рамках лінеаризованої постановки задачі теорії пружності. Із використанням запропонованої методики досліджено напружено-деформований стан заздалегідь деформованої плити, що лежить без тертя на жорсткій основі під час її гладкої контактної взаємодії з жорстким осесиметричним параболічним штампом складної конфігурації. Побудову аналітичних розв’язків контактної задачі для заздалегідь деформованої плити проведено шляхом її моделювання попередньо напруженим шаром. Граничні умови в зоні контакту сформульовано в класичній постановці (відсутність дотичних напружень на граничній поверхні шару, відсутність нормальних напружень за межами зони контакту, вертикальність зміщення штампа). У результаті підстановки виразів для компонент напружено-деформованого стану плити в граничні умови побудовано систему двох інтегральних рівнянь, ядра яких містять функції Бесселя. Подаючи функцію розподілу контактних напружень під штампом у вигляді скінченного ряду за функціями Бесселя, задачу зведено до скінченої системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів ряду. Побудовано аналітичні вирази для контактних напружень та вертикальних переміщень межових точок плити. Застосувавши отримані співвідношення проаналізовано вплив початкових деформацій на рівень та характер контактних напружень і вертикальних переміщень межової площини плити у випадках стисливого та нестисливого матеріалів. Числовий аналіз проведено для випадків наявності у плиті пружного потенціалу Бартенєва – Хазановича, а також потенціалу гармонічного типу.

Within the framework of linearized formulation of a problem of the elasticity theory, the stressstrain state of a predeformed plate, which is modeled by a prestressed layer, is analyzed in the case of its smooth contact interaction with a rigid axisymmetric parabolic indenter. The dual integral equations of the problem are solved by representing the quested-for functions in the form of a partial series sum by the Bessel functions with unknown coefficients. Finite systems of linear algebraic equations are obtained for determination of these coefficients. The influence of the initial strains on the magnitude and features of the contact stresses and vertical displacements on the surface of the plate is analyzed for the case of compressible and incompressible solids. In order to illustrate the results, the cases of the Bartenev – Khazanovich and the harmonic-type potentials are addressed.