Determining the stability region in the plane of parameters and quality indicators of linear discrete automatic control systems by D-partitioning method

Abstract

Розглянуто питання побудови межі області стійкості (МОС) дискретних лінійних систем автоматичного керування в площині параметрів системи, які лінійно входять до характеристичного рівняння, та показників якості (ступеня стійкості, ступеня коливності, або коефіцієнта загасання) методом D-розбиття. Представлено розміщені та фіксовані характеристичні рівняння, які використовуються при побудові моделі області стійкості в області параметрів і показників якості. Показано, що показники якості нелінійно входять до коефіцієнтів характеристичного рівняння, тому побудова області стійкості класичним методом D-розбиття неможлива. Розглянуто побудову моделі області стійкості цифрової системи керування станом космічного корабля по одній координаті в площині параметра системи та ступеня стійкості. Ця область стійкості отримана, використовуючи раніше запропоновану авторами методику побудови області стійкості в площині двох параметрів, один з яких нелінійно входить до коефіцієнтів рівняння системи. При цьому включається побудова всієї кривої D-розбиття, особливих прямих і використання штриховки по Неймарк., а також забезпечується комп’ютерна реалізація побудови МОС. Отримане сімейство меж областей стійкості в площині параметра та показника ступеня стійкості при різних значеннях іншого параметра системи, який нелінійно входить до коефіцієнтів зміщеного характеристичного рівняння, дозволяє оцінити, а для значень параметрів на сімействі МОС, визначити показники якості перехідного процесу. Для підтвердження достовірності отриманих результатів для одного зі значень ступеня стійкості визначено корені характеристичного рівняння в межах області стійкості та за межею області стійкості. Показано, що межі області стійкості, відповідає характеристичне рівняння, корені якого розміщені на колі з одиночним радіусом. Значенням параметрів, що знаходяться в області стійкості відповідають корені характеристичного рівняння, моделі яких менші одиниці (система стійка), а значенням параметрів за межею області стійкості відповідають корені з модулями, більшими за одиницю, що характерно для нестійких систем

The problem of constructing the boundary of the stability region (BSR) of linear discrete automatic control systems in the plane of the system parameters, which are linearly included in the coefficients of the characteristic equation, and quality indicators of the transient process (stability degree, fluctuation degree or attenuation factor) by the D-partition method is considered. The shifted and fictitious characteristic equations for BSR construction in the area of parameters and quality indicators are introduced. It is shown that the quality indicators are non-linearly included in the coefficients of the characteristic equation, therefore it is impossible to construct the BSR of discrete automatic control system using the classical D-partition method. Constructing of digital control system BSR of spaceship state using one coordinate in the plane of the system parameter- stability degree is considered. The BSR is obtained using the previously proposed by the authors method of constructing the region of stability in the plane of two parameters, one of which is nonlinearly included in the system equation. At the same time, the construction of the entire D-partition curve, special straight lines, and the use of Neimark hatching is excluded, and computer realization of the limit of stability region is ensured. The obtained BSR family in the plane of the parameter and at different values of another system parameter which is nonlinearly included in the coefficients of the shifted characteristic equation makes it possible to estimate, and for the parameter values on the boundary of the stability region of the BSR family, to determine the stability degree