Periodic functions with variable period – basic concepts and certain investigation results

Abstract

Одним із важливих прикладних напрямків математики є дослідження реальних сигналів. За своїми властивостями сигнали бувають досить різноманітними, відповідно різними є і методи їх дослідження. Серед цього різноманіття значну долю складають періодичні сигнали, але при цьому період, через який їх значення повторюються, вже не є постійним, а певним чином змінюється. Яскравим прикладом таких сигналів є електрокардіограми, отримані під час чи після дії на організм людини певного збудника спокою, наприклад, фізичного навантаження. На інтервалах часу, протягом яких пульс приходить у «норму», період електрокардіограми змінюється. Подібною до електрокардіограми буде поведінка спірограми, теж отриманої після дії навантаження чи іншого збудника психофізичного стану людини. Приклади аналогічних сигналів можна також навести із багатьох технічних систем. Аналіз літературних джерел показує, що для такого роду сигналів будь якої теорії та аналітичних методів їх дослідження до недавніх пір не існувало. Вказується, що перші дослідження сигналів зі змінним періодом започатковані в роботах автора цієї статті. Наведено деякі з основних результатів цих досліджень. Найперше, визначено клас періодичних функцій зі змінним періодом T (x). Розглянуто деякі властивості змінного періоду, а також введено змінний період   x T  для випадку, коли аргумент функції спадає. Наведено приклади аналітичного задавання таких функцій у вигляді тригонометричних функцій зі змінним періодом sin x , cos x , tgx , сtgx 1, 1, та записано їх змінні періоди. Показано, що періоди тригонометричних функції sin х, cos x , tgx, сtgx є частинним випадком змінних періодів для функцій sin x , cos x , tgx , сtgx при 1, а, отже, і функції sin х, cos x , tgx, сtgx є частинним випадком функцій sin x , cos x , tgx , сtgx . Наявність функцій sin x , cos x наштовхує на питання щодо їх використання як базових функцій для отримання тригонометричної системи функцій зі змінним періодом, і у випадку її ортогональності розглянути питання побудови рядів Фур’є функцій зі змінним періодом. До поставленого завдання запланованого звернутися в наступних публікаціях

Investigation of real signals is one of the most important applied areas of mathematics. According to their properties, signals are quite diverse, and methods of their research are different as well. Among this diversity, periodic signals with variable period make up a significant proportion. Till present, no attention was paid to the theory of such signals. In this paper, we define periodic functions with variable period, which are the model of these signals. Some properties of the variable period are considered. Examples of the analytical formulation of functions with variable period in the form of trigonometric functions with variable period are given and their variable periods are recorded. It is pointed out that these functions can be used as basic ones for constructing orthogonal system of trigonometric functions with variable period and its use for constructing Fourier series of functions with variable period