Finding physically justified partial solutions of the equations of the thermoelasticity theory in the cylindrical coordinate system

Abstract

Знайдено нові розв'язки теорій термопружності в циліндричній системі координат. Для описування термопружного стану використано лінійну статичну модель тривимірного ізотропного тіла під дією стаціонарного температурного поля за відсутності об’ємних сил. Розглянута модель деформованого тіла базується на поданні переміщень і напружень через чотири гармонічні функції, три функції описують пружний стан, а температура описує чисті температурні переміщення. Використано співвідношення Дюамеля–Неймана для подання термопружних напружень в однорідному твердому тілі. Розглянуто випадок, коли стаціонарна температура задовольняє рівняння Лапласа. Після підстановки термопружних напружень у рівняння рівноваги термопружного тіла отримано систему диференціальних рівнянь Нав’є в частинних похідних другого порядку на пружні й температурні переміщення. Загальний розв'язок подано у вигляді суми однорідного й часткового розв’язків. Частковий розв'язок системи рівнянь Нав’є, який явно визначається стаціонарною температурою і не містить у собі пружних переміщень, названо температурним. Переміщення, деформації й напруження, які визначаються цими температурними розв’язками, названо температурними. Використано фізичні й математичні особливості термопружного напруженого стану й доведено, що для температурних розв'язків сума нормальних напружень дорівнює нулю, а об'ємне розширення рівне e = 3αТ . Використано знайдені залежності й записано новий температурний розв’язок системи рівнянь термопружності в циліндричній системі координат, коли температура не залежить від осьової змінної. Отоимано прості формули для вираження температурних напружень. Побудовано загальний розв'язок рівнянь теорії термопружності через чотири гармонічних функції, коли температурне поле задається двовимірною гармонічною функцією

The paper considers the linear model of three-dimensional isotropic body of theories of thermoelasticity in the cylindrical coordinate system. We consider the case when the stationary temperature satisfies the Laplace equation. After substituting thermoelastic stresses into the equilibrium equation, the system of Navier’s differential equations were obtained. Its general solution is presented as the sum of homogeneous and partial solutions. The partial solution of the system of Navier’s equations, which is clearly determined by the stationary temperature and does not contain elastic displacements, is called the temperature solution. The physical and mathematical features of the thermoelastic stress state were taken into account and it was proved that in the temperature solution the sum of normal stresses is zero and the volume deformation is equal to e = 3αТ. The found dependencies were used and the new temperature solution of the system of Navier’s equations were constructed in the cylindrical coordinate system, when the temperature does not depend on the axial variable. Simple formulas for expressing temperature stresses are given. The general solution of the equations of the theory of thermoelasticity by four harmonic functions is recorded