Construction of static solutions of the equations of elasticity and thermoelasticity theory

Abstract

Знайдено нові розв'язки теорій термопружності і пружності в декартовій системі координат. Для описування термопружного стану використано лінійну статичну модель тривимірного ізотропного тіла під дією стаціонарного температурного поля за відсутності об’ємних сил. Використано співвідношення Дюамеля–Неймана для подання термопружних напружень в однорідному твердому тілі. Після підстановки термопружних напружень в рівняння рівноваги термопружного тіла записано систему диференціальних рівнянь Нав’є в частинних похідних другого порядку на пружні переміщення. Загальний розв'язок системи рівнянь Нав’є наведено у вигляді суми однорідного йі часткового розв’язків. Побудовано й фізично обґрунтовано нові явні часткові розв'язки рівнянь термопружності, коли температурне поле задається тривимірними або двовимірними гармонічними функціями. Переміщення, деформації й напруження, які визначаються цими частковими розв’язками, названі температурними. Розглянута модель деформованого тіла базується на поданні переміщень і напружень через чотири гармонічні функції, три функції описують пружний стан і одна функція описує температурні деформації. Отримано просту формулу для вираження нормальних температурних напружень і показано, що їх сума дорівнює нулю. Також розглянуто окремі випадки термопружно- деформованого стану, коли температура залежить від добутку гармонічної функції від двох змінних на степінь координати z . Знайдено для них часткові й загальні розв'язки. Побудовано загальні розв'язки рівнянь термопружності (Navier’s equations) через чотири гармонічних функції, коли температурне поле задається тривимірними або двовимірними гармонічними функціями. Термопружний стан тіла розділено на симетричний і несиметричний по координаті z напружені стани. Запропоновано подання розв’язків теорії пружності, які виражаються через добуток гармонічної функції від двох змінних на степінь координати z . Записано поліноміальні розв'язки, які залежать від трьох координатних змінних. Наведено приклад використання запропонованих розв'язків для визначення напружено-деформованого стану призми під дією зусиль скручування.

New solutions to the theories of thermoelasticity and elasticity in the Cartesian coordinate system are found in this paper. New explicit partial solutions of thermoelasticity equations, when the temperature field is defined by 3D or 2D harmonic functions, are constructed. Displacements, deformations, and stresses determined by these partial solutions are called temperature functions. A simple formula for the expression of normal temperature stresses is obtained and it is shown that their sum is zero. Separate cases when the temperature depends on the product of harmonic functions of two variables on the degree of coordinate z are also considered. Partial and general solutions are derived for them. General solutions of thermoelasticity equations (Navier’s equations) through four harmonic functions, when the temperature field is given three-dimensional or two-dimensional harmonic functions, are constructed. The thermoelastic state of the body is divided into symmetric and asymmetric stress states. It is proposed to present the solutions of the theory of elasticity, which are expressed by the product of the harmonic function of two variables to the degree of the coordinate. Polynomial solutions that depend on three coordinate variables are recorded. An example of the application of the proposed solution is given.