Нові результати у типовій задачі існування Т-факторизацій порядку 10

Abstract

У більшості випадків (для 122 дерево-типів з 162 існуючих) розв’язано так звану типову задачу існування Т-факторизацій порядку 10, в оcнову якої покладено задачу Л. Байнеке. Також у статті [3] показано, що із 106 дерев Т-факторизації існують для 85 дерев. Для кожного з цих дерев виявлено можливі типи, і для них знайдено реалізуючі Т-факторизації. Продовження досліджень у цьому напрямі привело до результатів, поданих у таблиці, де для кожного дерева T порядку 10 вказано можливі типи T-факторизацій, і для багатьох із цих типів подано реалізуючі T-факторизації, які вдалося побудувати авторові за допомогою комп’ютера. Можливих дерево-типів, для яких ще не встановлено, існує їх реалізація чи ні, залишилося 41. Наведено таблицю з реалізаціями Т-факторизацій типів.

In the majority of cases (for 122 tree-types out of 162 existing) the so-called typical problem of the existence of T-factorization of order 10 is solved. The table with realizations for T-factorization types is given. T-factorization for tree T of the even order n is called the decomposition of complete graph Kn in sub graphs (factors) each of which is isomorphic for tree T. L.Bajneke’s problem l is to define for what trees T- factorization exists. He has formulated this problem and established a necessary condition Δ (T) <k of the existence of T-factorization of order n where n=2k, and Δ(T) means the highest degree in tree T. The first steps have been made in solving the problem for order 10. Particularly in [2] it has been established possible types of T-factorization for each tree T of order 10. Besides, in [2] affirmative answers to the given problem for some definite cases, which have not been mentioned in the article [3], are received. Also in the article [3] it is shown that T-factorization exists for 85 trees out of 106. For each of these trees possible types are discovered and realizing T-factorization is found for them. The continuation of the research in this direction has resulted in figures given in the table below. In this table all possible types of T-factorization were constructed / discovered by the author with the help of a computer. There are 41 tree types for which it is not decided whether they have their realizations or not. The author continues his research in this direction and hopes for finding the results which will fill up the given table.