Presentation of a general 3D solution of equations of elasticity theory for a wide class of orthotropic materials

Abstract

Присвячено побудові загального розв’язку рівнянь теорії пружності для найширшого класу ортотропних матеріалів у декартовій системі координат. Елементи конструкцій із ортотропних матеріалів широко використовуються в різноманітних об’єктах транспортного, енергетичного машинобудування, будівельній індустрії та інших галузях техніки. Для описування їх напруженого стану використано лінійну математичну модель теорії пружності для статично навантаженого тривимірного ортотропного тіла. Модель включає узагальнений закон Гука, вираз деформацій як через переміщення, так і напруження й рівняння рівноваги пружного тіла в декартовій системі координат. Розроблено методику інтегрування трьох рівнянь рівноваги шляхом почергового виключення переміщень за відсутності об’ємних сил. Знайдено критерії, які має задовольняти найширший клас ортотропних матеріалів, так що можна отримати подання їх однотипного розв’язку у декартовій системі координат. Отримано загальне подання розв’язування рівнянь рівноваги у переміщеннях для ортотропного матеріалу через введену функцію переміщень, яка задовольняє рівняння шостого порядку в частинних похідних від трьох координатних змінних. Воно містить 10 коефіцієнтів, які визначеним способом залежать від 9 незалежних пружних постійних, що описують ортотропний матеріал. Значення десяти коефіцієнтів цього рівняння визначаються через задані модулі Юнга, коефіцієнти Пуассона й модулі зсуву ортотропного матеріалу. Витримано математичну й фізичну строгість при побудові розрахункових формул ортотропної теорії пружності. На основі загального розв’язку рівнянь рівноваги ортотропного тіла записано вираз деформацій і напружень у декартовій системі координат через введену функцію переміщень, яка визначається з розв’язку побудованого рівняння. Отримані результати можуть бути використані в практичному проектуванні елементів конструкцій із ортотропних матеріалів.

A mathematical model of the statically loaded three-dimensional orthotropic body was used. The broadest class of orthotropic materials in the Cartesian coordinate system is considered. We find a general representation of the solution of equilibrium equations in displacements for orthotropic materials. The expression of displacements, strains and stresses is obtained through the introduced displacement function, which satisfies the sixth-order equation for partial derivatives.