Direct method of research of the temperature field in the system of multilayer spherical shell

Abstract

Запропонована робота присвячена застосуванню прямого методу до дослідження процесів теплообміну в системі – куля всередині багатошарової сферичної оболонки (конструкції). Припускається, що між шарами цієї системи існує ідеальний тепловий контакт, а теплообмін між навколишнім середовищем та зовнішньою поверхнею відбувається за законом Ньютона-Ріхмана. Тобто виконуються умови третього роду. Закон зміни температури навколишнього середовища є довільною функцією часу та рівномірно розподілений у приповерхневому шарі так, що ізотерми всередині конструкції являють собою концентричні сфери. Отож задача є симетричною і в такій постановці розв’язана вперше. Для розв’язування такої задачі паралельно ставиться допоміжна задача про визначення розподілу нестаціонарного температурного поля у багатошаровій порожнистій сферичній конструкції з «вилученою» кулею достатньо малого радіуса. При цьому умова симетрії вихідної задачі замінюється умовою другого роду на внутрішній поверхні цієї конструкції. Реалізація розв’язку допоміжної задачі проводиться шляхом застосування методу редукції з використанням концепції квазіпохідних. Надалі використовується схема Фур’є із застосуванням модифікованого методу власних функцій. Для знаходження розв’язку вихідної задачі використано ідею граничного переходу шляхом прямування радіуса вилученої кулі до нуля. Встановлено, що при такому підході всі власні функції відповідної задачі на власні значення не мають особливостей в нулі, а це означає, що й розв’язки вихідної задачі є обмеженими у всій конструкції. Для ілюстрації запропонованого методу розв’язано модельний приклад про знаходження розподілу температурного поля у системі семишарових сферичних конструкцій з різними теплофізичними характеристиками матеріалів. Результати обчислень представлені у вигляді таблиці про зміну температури залежно від часу та просторової координати. Узагальнення отриманих результатів для випадку інших крайових умов (наприклад, першого роду) будь-якої скінченної кількості багатошарової сферичної конструкції не викликає жодних труднощів

The article is devoted to the application of the direct method to the research of heat transfer processes in the system – bullet inside multilayered spherical shell. To solve the initial problem in parallel, we put an auxiliary problem on the determination of the distribution of a unsteady temperature field in a multilayer spherical solid with a «deleted» bullet of sufficiently small radius. Implementation of the solution of the auxiliary problem is carried out by applying the reduction method using the concept of quasi derivatives. In the future, is used the Fourier scheme with the use of the modified eigenfunctions method. To find the solution of the original problem used the idea of the marginal transition by direction of the radius of the deleted bullet to zero. It is established that in this approach all the eigenfunctions of the corresponding problem with the eigenvalues have no singularities at zero, which means that the solutions of the original problem are limited in the whole construction.