Ways to improve Fourier series convergence and its application for Laplace numerical inversion

Abstract

Розв’язок широкого кола задач математичної фізики може бути отримано у вигляді рядів Фур’є. При розгляді задач, що пов’язані з дослідженням локалізованих дій, отримують швидкозмінні розв’язки, у зв’язку з чим ряди повільно збігаються. Для розв’язування складних задач метод рядів Фур’є використовують сумісно з іншими підходами. Зокрема, при додатковому застосуванні методу граничних елементів коефіцієнти рядів знаходяться шляхом розв’язування одно- або двовимірних інтегральних рівнянь, що відповідно вимагає значного обсягу обчислень. При цьому коефіцієнти рядів знаходять з певними похибками, що відповідно може призвести до втрати точності розрахунків. У таких випадках актуальною є проблема покращення збіжності рядів з контрольованою точністю розрахунків. Нижче запропоновано метод покращення збіжності рядів Фур’є для функцій, які можуть бути з достатньо високою точністю апроксимовані методом найменших квадратів кусково- неперервними поліномами першого степеня на всьому проміжку задавання ряду.

The solution of a wide class of the problems of mathematical physics can be obtained in the form of Fourier series. When considering the problems, concerned with study of the localized actions, the quickchanging solutions are obtained, in this connection the series converge slowly. To solve complex problems the Fourier series method is used jointly with other approaches, in particular, when using in addition the boundary element method the series coefficients are determined by solving one- and two-dimensional integral equations that demands a large amount of calculations. The series coefficients are determined with certain errors what can cause the loss of calculation accuracy. In such cases the problem of improvement the series convergence with controlled accuracy of calculations will be of high priority. Below we propose method of improving the Fourier series convergence for functions which can be approximated with sufficiently high accuracy by the least squares method by means of the first degree piecewise-continuous polynomials on whole interval of series specifying