Програмна реалізація методу розв'язання розріджених числових систем лінійних алгебричних рівнянь в середовищі MatLab

Abstract

Запропоновано новий підхід до розв’язування розріджених систем лінійних алгебричних рівнянь із блочними елементами. Проведено підрахунок кількостей записів та операцій при чисельній реалізації алгоритму множення матриць. Охарактеризовано складність алгоритму з точки зору комп’ютерної алгебри. Проведено порівняння запропонованого алгоритму та блочного методу прогонки. Обчислено кількість записів для методу прогонки. Протестовано алгоритми розв’язання деяких типів розріджених числових систем лінійних алгебричних рівнянь. Показано ефективність запропонованого алгоритму.

New approach to the linear algebraic equations rarefied systems with block elements solution and the method of rarefied systems with the specific ways of filling solution is suggested in the article. The variables of the xi rarefied system of the linear algebraic equations into the finite matrix chain fractions are decomposed. Calculation of the records number and operations under the numerical realization of the matrix multiplication algorithm is conducted. The algorithm complication from the computer algebra point of view is characterized. Comparison of the suggested algorithm and the block method of “prohonka” is carried out. The number of records for the method of “prohonka” is calculated. The described algorithm is used in the case of systems with the rarefied three-diagonal matrix. Algorithms of some types rarefied numerical systems of the linear algebraic equations are tested. Three- diagonal systems of the linear algebraic equations solution by the method of chain fractions. The high accuracy of the suggested solution is shown. Function ESSELS is written and tested for the linear algebraic equations with numerical elements solution systems in the MatLab medium. This function implements the algorithm of the linear algebraic equations solution using the method of cut-off systems. This algorithm allows to solve equation systems in two ways: – in the case of symmetrical filling (the quantity of under-diagonals equals the quantity of above-diagonals), and when the quantity of matrix under-diagonals and the quantity of above-diagonals are different. For the comparison of the MatLab packsge with regular programmes a small programme MatLab Band was written. It realizes the procedure of the linear algebraic equations tape systems by means of MatLab. The results of both systems comparison are carried out in the chart. Algorithms for the given test system of the average dimension have a considerable advantages in comparison with the standard functions of the MatLab package. Efficiency of the suggested algorithm is shown in the article. Theoretical and methodological basis of investigation comprise methods of optimization and mathematic modeling.