Numerical and analytical solution of the problem on deformation of the circular cylinder using the Bessel functions

Abstract

Розглянуто пружну деформацію пластини у вигляді кругового циліндра під дією гладкої мембрани, яка контактує з пластиною вздовж всієї поверхні верхньої основи. Робота проводиться в напрямку знаходження критичних ділянок деформованого кругового циліндра, що знаходиться в постійній осьовій деформації під дією стискуючого навантаження. Верхівка циліндра натискається гладкою, абсолютно жорсткою параболічною печаткою, яка рухається вертикально і контактує з усією верхньою частиною циліндра. Нижня основа вільна від навантажень. Вважається, що - рівняння лінії, яка описує штамп у кінцевій позиції. Також вважається, що функція близька до параболи , де p - максимальний прогин верхньої основи та . Як критерій міцності застосовується енергетична гіпотеза Мізеса. Функція Ері представлена в тригонометричній формі за допомогою функцій Бесселя нульового та першого порядку . Отримано аналітичні формули для компонент тензора напружень досліджуваного тіла обертання, а також функція потенціальної енергії формозміни у відповідності з енергетичною гіпотезою Мізеса. Під час чисельного розв’язку задачі ми вважатимемо, що рівняння нижньої поверхні штампа в кінцевому положенні описується функцією із значеннями параметрів штампу . Коефіцієнт Пуассона вважається рівним 0,25, модуль зсуву рівним 0,5. Чисельно знайдено найбільш небезпечні з точки зору міцності області кругового циліндра. Адекватність побудованої математичної моделі перевіряється методом скінчених елементів. Представлені в статті графіки функції потенціальної енергії формозміни вказують на небезпечні з точки зору міцності ділянки кругового циліндра. Отримані результати планується узагальнити у випадку багатошарових циліндрів, виготовлених з різних матеріалів, які часто використовуються в промисловості

The elastic deformation of the plate in the form of a circular cylinder under the action of a smooth stamp contacting with the plate along the entire surface of the upper base is considered. The work deals with the finding of the critical areas of a deformed circular cylinder, undergoing a constant axial deformation under the action of the compressive load. The top of the cylinder is pressed by a smooth, absolutely rigid parabolic stamp that moves vertically and contacts with the entire top of the cylinder. Lower base is free of loads. As a criterion of strength the Mises energy hypothesis is taken. The Eri function is represented in a trigonometric form using the Bessel functions of zero and first order. The analytical formulas for components of the stress tensor for the investigated body of rotation are obtained, as well as the function of the potential energy of the form-change in accordance with the Mises energy hypothesis. The adequacy of the constructed mathematical model is checked by the method of finite elements.