Початкове наближення для ітераційного розв’язування задачі поширення малих пружних збурень у тривимірному полі напружень

Abstract

Розроблену раніше математичну модель динаміки пружних збурень у неоднорідно деформованому континуумі застосовано для отримання співвідношень акустопружності за поширення хвилі у тривимірному полі деформацій. У середньоінтегральному вздовж напрямку поширення зондувального імпульсу наближенні отримано вирази для фазових швидкостей хвиль різної поляризації як функцій від розподілу компонент тривимірного тензора деформації на цьому напрямку. Записані співвідношення використано для числового оцінювання відносних похибок фазових швидкостей плоскої хвилі, що поширюється у безмежному просторі з початковими деформаціями, зумовленими дією у початку координат у напрямку осі аплікат зосередженої сили, порівняно із відповідними швидкостями у недеформованому середовищі. Отримані співвідношення можна використати для оцінювання напружено-деформованого стану у досліджуваному об’єкті.

The present stress-strain state in the structural elements, geological systems, biological structures, etc. influences essentially their operation properties, reliability and durability. Acoustic method, the basis of interrelation between the stress-strain state and characteristics of wave field, phase velocities, in particular, is one of the ways of its detection. Therefore, development of mathematical models describing the interrelation of the parameters of sounding field in a solid body with the components of the tensor of initial deformations in it is an important scientific and practical problem. The developed earlier mathematical model of dynamics of elastic disturbances in in-homogeneously deformed continuum to solve the problem of propagation of plane harmonic waves in 3-D field inhomogeneous initial deformations is used. This model represents the Cauchy problem for a system of three differential equations of hyperbolic type with variable coefficients. To obtain solution of the problem the iteration procedure is used, in initial (zero) approximation of which the in homogeneously field of initial deformations is approximated by mean-integral values along the directions of propagation in the zero approximation the relations of acousto-elasticity are obtained. They connect the phase velocity of waves of different polarizations with distribution of the component of 3-D strain tensor on this direction. Previously the analogous expression were obtained for the cases of propagation of the sounding pulse in the body in the state of plane deformation, when the wave propagates in the flat plane of symmetry and perpendicularly to it. The written relations are used to solve numerically the problem on propagation of plane wave an infinite space with initial deformations caused by the action of the applicator of concentrated force in the coordinate origin in the axis direction. The obtained numerical estimates of relative errors of phase velocities are compared with the corresponding velocities in non-deformed medium. The constructed relations can be used to formulate the direct and inverse problems of acoustic tomography of 3-D stress-strain state in a solid body.