Comparative analysis of results of numerical simulation of cyber-physical biosensor systems on the basis of lattice differential equations

Abstract

Проведено порівняльний аналіз результатів чисельного моделювання математичних моделей кіберфізичних біосенсорних систем на гексагональній та прямокутній решітках із використанням решітчастих диференціальних рівнянь. Основна увага приділена математичному опису дискретної динаміки популяцій у поєднанні з динамічною логікою досліджуваних моделей. Запропоновано решітчасті диференціальні рівняння із запізненням у часі для моделювання взаємодії антиген-антитіло всередині гексагональних та прямокутних біопікселів. Використано відповідні просторові оператори, які моделюють взаємодію між біопікселями подібно до явища дифузії. Представлено результати чисельного моделювання у вигляді зображень фазових площин та решітчастих зображень ймовірності зв’язків антигенів з антитілами в біопікселях моделей кіберфізичних біосенсорних систем для популяцій антитіл відносно популяцій антигенів. Проведено порівняльний аналіз результатів чисельного моделювання математичних моделей кіберфізичних біосенсорних систем, які розглянуто в роботі, у вигляді фазових діаграм популяцій антигенів щодо антитіл та решітчастих зображень ймовірності зв’язків антигенів із антитілами. Зроблено висновок, що при величині сталої запізнення [0, 0.25] для моделі на гексагональній решітці та [0, 0.22] у випадку використання прямокутної решітки відповідно, розв’язки досліджуваних математичних моделей прагнуть до неідентичних ендемічних станів, які в даному випадку є стійкими фокусами. За отриманими результатами фазових діаграм популяцій антигенів щодо антитіл та решітчастих зображень ймовірності зв’язків антигенів з антитілами в біопікселях кіберфізичних біосенсорних систем зроблено висновок, що при величині сталої запізнення 0,25 (у випадку гексагональної решітки) та 0.23 (у випадку прямокутної решітки) виникає біфуркація Хопфа й усі подальші траєкторії відповідають стійким граничним циклам для всіх пікселів. Отримані експериментальні результати дають змогу провести порівняльний аналіз стійкості математичних моделей кіберфізичних біосенсорних систем на гексагональній та прямокутній решітках із використанням решітчастих диференціальних рівнянь.

The article deals with the comparative analysis of the results of numerical modeling of mathematical models of cyber-physical biosensor systems on hexagonal and rectangular lattices using lattice differential equations. The main attention is given to the mathematical description of the discrete population dynamics in combination with the dynamic logic of the studied models. The lattice differential equations with delay are proposed to simulate antigen-antibody interaction within hexagonal and rectangular biopixels. Appropriate spatial operators have been used to model the interaction between biopixels similar to the phenomenon of diffusion. The paper presents the results of numerical simulations in the form of phase plane images and lattice images of the probability of antigen to antibody binding in the biopixels of cyberphysical biosensor systems for antibody populations relative to antigen populations. The obtained experimental results make it possible to carry out a comparative analysis of the stability of mathematical models of cyberphysical immunosensory systems on hexagonal and rectangular lattices using lattice differential equations. It is concluded that at a constant delay value [0, 0.25) for the model on the hexagonal lattice and [0, 0.22] when using a rectangular lattice, respectively, the solutions of the mathematical models studied tend to non-identical endemic states, which in this case are stable foci. The results of the phase diagrams of antigen populations, antibodies and lattice images of the likelihood of antigen binding to antibodies in the biopixels of cyberphysical biosensor systems conclude that at a constant delay value 0,25 (in the case of a hexagonal lattice) and 0.23 (in the case of a rectangular lattice), Hopf bifurcation occurs and all subsequent trajectories correspond to stable boundary cycles for all pixels. The obtained experimental results make it possible to perform a comparative analysis of the stability of mathematical models of cyberphysical biosensor systems on hexagonal and rectangular lattices using lattice differential equations.