Separation of the 3d stress state of a loaded plate into two-dimensional tasks: bending and symmetric compression of the plate

Abstract

Вивчено тривимірний напружено-деформований стан ізотропної пластини, навантаженої на всіх своїх поверхнях. Розглянуто випадок, коли до її плоских торцевих поверхонь прикладені нормальні навантаження, а дотичні – відсутні. Для описування напруженого стану використано лінійну математичну модель тривимірного ізотропного тіла за відсутності об’ємних сил. Розглянута модель деформованого тіла базується на поданні переміщень і напружень через три гармонічні функції переміщень, які описують загальний розв’язок рівнянь Ляме. Вихідну задачу поділено на дві: симетричний згин пластини і симетричний торцевий стиск пластини заданими навантаженнями. Показано, що частковим випадком другої задачі є плоска задача теорії пружності. Для розв’язання другої задачі використано симетричність нормальних напружень відносно серединної поверхні пластини. Враховано цю симетрію і задоволення крайових умов на плоских поверхнях зведено до трьох умов, з яких отримано умови двовимірної гармонічності значень введених функцій на верхній плоскій поверхні пластини. Після інтегрування тривимірних напружень уздовж нормалі до серединної поверхні пластини знайдено вирази зусиль. Підставлено зусилля в рівняння рівноваги пластини і після перетворень отримано два бігармонічних рівняння. Показано, що для тонкої пластини будуть наближено виконуватися відповідні нерівності на нормальні напруження, після використання яких отримано замкнену систему рівнянь. Встановлено, що отримані рівняння узгоджені між собою. Записані співвідношення виражені через двовимірні гармонічні функції. Записано крайову задачу для визначення гармонічних функцій. Переміщення й напруження в пластині виражено через дві двовимірні гармонічні функції й частковий розв’язок рівняння Лапласа з відомою функцією, яка визначається торцевими навантаженнями. Аналогічно як в плоскій задачі, напруження виражені через функцію напружень і частковий розв’язок. Тривимірні крайові умови зведені до двовимірного вигляду. Знайдено формулу для експериментального визначення суми нормальних напружень у пластин через експериментально виміряні переміщення бічної поверхні пластини.

The three-dimensional stress-strain state of an isotropic plate loaded on all its surfaces is considered in the article. The initial problem is divided into two ones: symmetrical bending of the plate and a symmetrical compression of the plate, by specified loads. It is shown that the plane problem of the theory of elasticity is a special case of the second task. To solve the second task, the symmetry of normal stresses is used. Boundary conditions on plane surfaces are satisfied and harmonic conditions are obtained for some functions. Expressions of effort were found after integrating three-dimensional stresses that satisfy three equilibrium equations. For a thin plate, a closed system of equations was obtained to determine the harmonic functions. Displacements and stresses in the plate were expressed in two two-dimensional harmonic functions and a partial solution of the Laplace equation with the right-hand side, which is determined by the end loads. Three-dimensional boundary conditions were reduced to two-dimensional ones. The formula was found for experimental determination of the sum of normal stresses via the displacements of the surface of the plate.