Representation of the stress state of some orthotropic materials by three harmonic functions of three variables

Abstract

Розв’язано рівняння статичної теорії пружності для деякого класу ортотропних матеріалів. Для описування їх напруженого стану використано лінійну математичну модель тривимірного ортотропного тіла, за відсутності об’ємних сил. Розглянуто модель деформованого тіла на базі подання напружень через переміщення й диференціальні рівняння рівноваги пружного тіла. Записано три рівняння, які описують пружну рівновагу ортотропного тіла через пружні переміщення в декартовій системі координат. Модель залежить від дев’яти незалежних постійних і може описувати різні ортотропні, а також трансверсально-ізотропний та ізотропний матеріали. Використано методику інтегрування трьох рівнянь, шляхом почергового виключення переміщень. Розглянуто питання, пов’язані з усуненням зайвих функцій із падання загального розв’язку рівнянь теорії пружності. Знайдено критерії, які визначають такий клас ортотропних матеріалів, що їх напружено-деформований стан можна виразити через дві функції. Одна функція задовольняє рівняння в частинних похідних другого порядку, а інша – четвертого порядку. Встановлено, що рівняння четвертого порядку, в загальному випадку, не розкладається на два операторних множники. Отримані рівняння залежать від семи незалежних пружних постійних, що описують ортотропний матеріал за незначних обмежень на два модулі зсуву. Знайдено рівняння, яке має задовольняти пружні константи ортотропного матеріалу, так щоб рівняння четвертого порядку можна було розкласти на добуток двох рівнянь другого порядку. Цей розклад дозволяє представити переміщення пружного ортотропного тіла через три гармонічних у різних декартових системах координат функції. Отримано загальне представлення напружено-деформованого стану ортотропного матеріалу через введені три гармонічних функції переміщень. Запропонована модель залежить від шести незалежних пружних сталих, а три інших коефіцієнти ортотропії визначаються з отриманих квадратних рівнянь. На основі загального розв’язку рівнянь рівноваги ортотропного тіла записано вираз деформацій і напружень через введені гармонічні функції. Отримані результати можна використати при розрахунку й практичному проектуванні елементів конструкцій із ортотропних матеріалів.

The model of an orthotropic deformable body based on the representation of stresses in terms of displacements is considered. The method of integration of three equations of the elastic equilibrium is used, based on the elimination of separate displacements. Problems related to the elimination of unnecessary functions from the representation of the general solution of the equations of the theory of elasticity are considered. Criteria are found that determine such a class of orthotropic materials that their stress-strain state can be expressed in terms of two functions. One function satisfies the equation of the second order in partial derivatives, and the other of the fourth order. It is established that the equation of the fourth order, in the general case, is not decomposed into two operator factors. Criteria were found for the expansion of a fourth-order equation into the product of two second-order equations. An equation has been written that must be satisfied by the elastic constants of an orthotropic material. The expression of deformations and stresses by introduced harmonic functions was written down.