Dynamics of a spherical pendulum on a nonlinear elastic suspension under the action of a variable side aerodynamic load

Abstract

Використовуючи рівняння Лагранжа другого роду, отримано математичну модель сферичного маятника на пружній нелінійній підвісці під дією змінного бічного аеродинамічного навантаження у вигляді системи трьох нелінійних диференційних рівнянь другого порядку. Визначено рівняння руху й співвідношення між кутовими та декартовими координатами. Складено програму й виконанийо числовий експеримент. Модель та програма дозволяють отримати часові залежності лінійних та кутових переміщень, а також лінійних і кутових швидкостей та побудувати відповідні графіки, фазові портрети й просторову траєкторію руху вантажу. Внаслідок параметричного впливу система може демонструвати досить складну (в тому числі хаотичну) динаміку, велике розмаїття динамічних станів і переходів, а також можливість забезпечити ефективний вплив на характеристики формованих коливань за допомогою зміни параметрів. Маючи математичні моделі й програми розрахунку, можна проводити подальші дослідження розглянутих систем, виявляючи положення стійкої та нестійкої рівноваги, режими автоколивань, виявляючи області різних за характером періодичних і хаотичних режимів, біфуркації та ін. Дослідження проведено за нелінійною моделлю без використання асимптотичних методів, що дозволило виключити методологічну похибку рішення. Отримані результати можуть бути використані при моделюванні керованих маятникових рухів різних механічних систем. Методика і програма рекомендуються для вирішення прикладних завдань проектування й експлуатації різних підіймальнотранспортних систем і технічних пристроїв, здатних демонструвати складну поведінку. В методичному плані пропонований матеріал цікавий для студентів і аспірантів у плані навчання принципам побудови й аналізу складних нелінійних просторових динамічних систем.

Using the Lagrange equation of the second kind, a mathematical model in the form of spatial equations of a spherical pendulum motion on an elastic suspension under the action of a variable side load is obtained. The system has three degrees of freedom. The relations between the angular and Cartesian coordinates are determined. Software is compiled and a numerical experiment is performed. The model and software make it possible to obtain the time dependences of linear and angular displacements, as well as linear and angular velocities, and to construct the corresponding graphs, phase portraits, and spatial trajectory. The solution found in general form allows further research to be performed by setting specific parameter values. The study was conducted for a nonlinear model without the use of asymptotic methods, which allowed us to exclude the methodological error of the solution.