Incomplete contact of the orthotropic plate with the elliptical hole and the closed elastic rib

Abstract

В умовах узагальненого плоского напруженого стану, створеного рівномірно розподіленими зусиллями розтягу на нескінченності, розглянуто мішану контактну задачу для нескінченної ортотропної пластинки з еліптичним отвором, контур якого підсилено замкненим пружним ребром, за наявності на межі їх сполучення двох симетричних міжфазних розрізів, береги яких у процесі деформації не контактують. Компоненти тензора деформації (відносне видовження і кут повороту нормалі) в точках контуру отвору пластинки представлені інтегральними залежностями від контактних зусиль. Моделюючи підсилення замкненим пружним стрижнем сталого прямокутного поперечного перерізу та використовуючи основні рівняння лінійної теорії криволінійних стрижнів, що враховує деформації поперечного зсуву, математичну модель задачі побудовано у вигляді системи сингулярних інтегрально-диференціальних рівнянь з ядрами Гільберта для знаходження контактних зусиль між пластинкою і ребром та внутрішніх сил і моментів у підсиленні. При визначенні початкових параметрів замкненого статично невизначеного стрижня використано умови однозначності зміщень і кутів повороту в точках його осі. З’ясовано структуру шуканих функцій на ділянках сполучення пластинки й підсилювального ребра. Наближений розв’язок задачі побудовано комбінованим методом механічних квадратур і колокації, яким досліджено вплив на напружений стан пластинки й підсилювального ребра величини міжфазних розрізів та форми отвору в пластинці. Встановлено, що в околі торців міжфазних розрізів нормальні напруження в поздовжніх волокнах ребра мають стрибки першого роду, залишаючись при цьому обмеженими, а контактні й кільцеві зусилля в пластинці набувають необмежених значень.

In the conditions of a generalized flat stress state created by uniformly distributed tensile forces at infinity, the mixed contact problem for an infinite orthotropic plate with an elliptical hole, the contour of which is strengthened by a closed elastic rib, in the presence two symmetrical interphase incisions with edges which are not in contact during deformation, is considered. The deformation tensor components (relative elongation and normal angle of rotation) at the points of the contour of the plate hole are represented by integral dependences on the contact forces. By modeling strengthening of a closed elastic rod of a constant rectangular cross section and using the basic equations of the linear theory of curvilinear rods, which takes into account the deformations of the transverse shear, the mathematical model of the problem is constructed as a system of singular integral-differential equations with Hilbert cores to find the contact forces between the plate and the rib and the internal forces and moments in the reinforcemen. To determine the initial parameters of a statically indeterminate rod, the conditions of unambiguity of displacements and angles of rotation at points of its axis were used. The structure of the required functions in the areas of interconnection of the plate and the reinforcing rib is established. The approximate solution of the problem is constructed by the combined method of me chanical quadratures and collocations, which investigates the influence of the magnitude of the interphase cuts and the shape of the hole in the plate on the stress state of the plate and the reinforcing rib. It is established that in the vicinity of the ends of the interphase sections, the normal stresses in the longitudinal fibers of the rib have first-order jumps, while remaining limited, and the contact and annular efforts in the plate take unlimited values.