Calculation of the plate plane stress in polar coordinate system on the basis of Lamé equation general solution

Abstract

Розглянуто плоску задачу теорії пружності для кільця сталої товщини, плоска серединна поверхня якого збігається з координатною площиною циліндричної системи координат. На зовнішніх плоских поверхнях кільця відсутні нормальні та дотичні навантаження, а до бічних циліндричних поверхонь прикладені навантаження, симетричні й паралельні серединній поверхні. Побудова плоского напруженого стану пластин у полярній системі координат ґрунтується на використанні загального розв’язку рівнянь теорії пружності. Для описування її тривимірного напруженого стану використано три гармонічних функції, які виражають загальний розв’язок рівнянь Ляме в циліндричній системі координат. Після інтегрування напружень по товщині пластини виражено нормальні й дотичні зусилля через дві двовимірні гармонічні та бігармонічні функції. Враховано крайові умови на вільних від навантажень поверхнях пластини і побудовано замкнену систему рівнянь у часткових похідних на введені двовимірні функції без використання гіпотез про геометричний характер деформування пластини. Встановлено, що використання отриманих співвідношень призводить до задоволення рівнянь рівноваги пластини в зусиллях. Для інтегрального задоволення крайових умов дію навантажень на зовнішніх циліндричних поверхнях кільця замінено нормальними та дотичними зусиллями. Записано подавання напружень і переміщень плоскої задачі теорії пружності за формулами, які узгоджуються з тривимірною теорією пружності. Тривимірні крайові умови зведено до двовимірного вигляду. Розроблено математичну модель, яка описує плоский напружено-деформований стан пластин у полярній системі координат. Наведено приклад розрахунку напружено-деформованого стану диска.

The mathematical model describing plane stress-strain state of plane elastic bodies in polar coordinate system is offered. To describe its three-dimensional stress state, three harmonic functions expressing the general solution of Lamé equations in cylindrical coordinate system are used. After stresses integration on the thickness of the plate normal and tangential efforts are expressed through two two-dimensional harmonic and biharmonic functions. The closed equation system in partial derivatives is developed on the introduction of two-dimensional functions without using hypotheses about the geometric nature of plate deformation. Threedimensional boundary conditions are reduced to two-dimensional form. The example of stress-strain state of disk is given.